Уроженец лондонского пригорода, Райт самостоятельно выучился играть на клавишных музыкальных инструментах. В середине 1960-х годов он вместе с Сидом Барреттом, Роджером Уотерсом и Дэвидом Гилмором основал группу Pink Floyd.
Райт является автором значительной части музыки на практически всех известных альбомов коллектива. Клавишные партии Райта являются, по признанию критиков, одной из отличительных черт музыкального стиля Pink Floyd.
В ряде песен музыканту принадлежат и вокальные партии. В 1981 году Райт покинул Pink Floyd на несколько лет из-за проблем в личной жизни и сложных взаимоотношений с Роджером Уотерсом.
После того, как сам Уотерс ушел из группы, Райт вернулся в Pink Floyd и продолжал работу над музыкальным материалом группы, включая последний студийный альбом группы "The Division Bell", вышедший в 1994 году.
В 2005 году все участники Pink Floyd воссоединились для выступления на благотворительном концерте в помощь Африке Live 8 в лондонском Гайд-парке.
Ричард Райт был трижды женат, а его дочь Гала замужем за музыкантом Гаем Прэттом, который также играл в Pink Floyd в 1990-е годы.